Informace

Vzorec, rovnice a výpočty Butterworthova filtru

Vzorec, rovnice a výpočty Butterworthova filtru


Butterworthův filtr je populární forma filtru, který poskytuje maximálně rovnou odezvu v pásmu. Zatímco v dnešní době je nejběžnějším způsobem výpočtu hodnot použití aplikace nebo jiného počítačového softwaru, je stále možné je vypočítat pomocí tradičnějších metod. Existují vzorce nebo rovnice, které lze pro tyto výpočty žalovat, a tímto způsobem je možné snáze porozumět kompromisům a fungování.

Pomocí rovnic pro filtr Butterworth je relativně snadné vypočítat a vykreslit frekvenční odezvu a také vypočítat potřebné hodnoty.

Butterworthova frekvenční odezva filtru

Protože Butterworthův filtr je maximálně plochý, znamená to, že je navržen tak, aby při nulové frekvenci byly první derivace 2n-1 pro výkonovou funkci vzhledem k frekvenci nulové.

Je tedy možné odvodit vzorec pro frekvenční odezvu filtru Butterworth:

|PROTIvenPROTIv|2=11 +(FFC)2n

Kde:
f = frekvence, s jakou se provádí výpočet
FC = mezní frekvence, tj. poloviční výkon nebo -3 dB frekvence
Vin = vstupní napětí
Vout = výstupní napětí
n = počet prvků ve filtru

Rovnici lze přepsat, aby poskytla obvyklejší formát. Zde H (jω) je přenosová funkce a předpokládá se, že filtr nemá žádný zisk, tj. Není to aktivní filtr.

|H(jω)|=11+(ωωC)2n

Kde:
H (jω) = přenosová funkce při úhlové frekvenci ω
ω = úhlová frekvence a rovná se 2πf
ωC = mezní frekvence vyjádřená jako úhlová hodnota a rovná se 2πfC

Poznámka: Nezáleží na tom, zda ω / ωo nebo f / fC je použito, protože je to čistě poměr dvou čísel. Pokud se použije ω, což je 2πf, pak se faktor 2π zruší tak, jak je na horní i dolní části zlomku.

Pokud chcete kdykoli vyjádřit ztrátu Butterworthova filtru, můžete použít níže uvedený Butterworthův vzorec. To dává útlum v decibelech v každém bodě.

Ad =10log10(1+(ωωC)2n)

Příklad výpočtu filtru Butterworth

Chcete-li poskytnout příklad odezvy výpočtu Butterworthova filtru, vezměte si příklad obvodu uvedeného níže. Jak je u těchto výpočtů normální, používají se normalizované hodnoty, kde mezní frekvence je 1 radián, tj. 1 / 2Π Hz, impedance je 1 Ω a hodnoty jsou uvedeny ve Faradech a Henriesovi.

Následující příklad používá některé z nejjednodušších hodnot s impedancí 1 Ω a hodnoty pro kondenzátor 2 Farads a sériové tlumivky po 1 Henry.


Pomocí výše uvedeného vzorce a znalosti mezního bodu 0,159 Hz je možné vypočítat hodnoty odezvy na různých frekvencích:


Odpověď Butterworthova filtru
Frekvence (Hz)Relativní výkon
0.001.00
0.070.99
0.0950.95
0.1590.50
0.2230.117
0.2540.056
0.3180.015

Butterworth filtrační póly

Póly Butterworthovy dolní propusti s mezní frekvencí ωc jsou rovnoměrně rozmístěny po obvodu půlkruhu o poloměru ωc se středem na počátku roviny s.

Póly dvoupólového filtru jsou ± 45 °. Filtry čtyřpólového filtru jsou při ± 22,5 ° a ± 67,5 °. Podobným způsobem lze odvodit i další případy.

Níže uvedená tabulka však poskytuje póly nízkoprůchodových filtrů Butterworth s jedním až osmi póly a mezní frekvencí 1 rad / s, tj. Pro normalizovaný filtr.


Póly normalizovaných Butterworthových polynomů
ObjednatPoláci
1−1 ± j 0
2−0.707 ± j 0.707
3−1 ± j 0, −0.5 ± j 0.866
4−0.924 ± j 0.383, −0.383 ± j 0.924
5−1 ± j 0, −0.809 ± j 0.588, −0.309 ± j 0.951
6−0.966 ± j 0.259, −0.707 ± j 0.707, −0.259 ± j 0.966
7−1 ± j 0, −0.901 ± j 0.434, −0.624 ± j 0.782, −0.222 ± j 0.975
8−0.981 ± j 0.195, −0.832 ± j 0.556, −0.556 ± j 0.832, −0.195 ± j 0.981

Tyto základní rovnice poskytují základ pro vývoj jednoduchého LC filtru Butterworth vhodného pro RF a další aplikace.


Podívejte se na video: THE BEST Multimeter tutorial HD (Prosinec 2021).